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 双曲线作为圆锥曲线当中一种重要的曲线,一直是高中数学的重要学习内容,在历年高考数学中,都会成为热门考查对象。在近几年高考数学试题中,双曲线有关的题型可分为选择题、填空题和解答题等三种类型,它们均涉及到双曲线知识定理和方法技巧。如选择题和填空题主要考查双曲线的标准方程和几何性质等基础知识,解答题则综合考查学生逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力、分析问题与解决问题的能力。很多综合问题都体现了数学思想方法的重要性,有数形结合思想方、程思想、函数思想、对称思想、转化思想、分类讨论思想等。双曲线有关的解答题属于高考数学中的一个重难点和热点,此类问题涉及的知识面广,计算量大,解法灵活,有关双曲线的几何图形往往比较复杂,所设的问题比较综合,做题时思路和目的常常不太明确,对学生的灵活解题能力和知识迁移等能力有较高要求。

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 因此,在高考复习期间,我们必须熟练掌握好双曲线的性质,抓住问题的本质特征,找准解题的突破口。如要求学生学会对双曲线标准方程中的实轴长、虚轴长、焦距、离心率、准线方程中各个量之间关系的正确运用,要求学生在正确掌握双曲线的几何性质等知识的基础上,通过“以形助数”并“以数辅形”将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,利用数形结合的思想方法把代数问题与图形之间进行相互转化,勾勒出双曲线中各量之间的联系。已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(√3,0).(1)求双曲线C的方程;(2)若直线l:y=kx+√2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且OA―→,·OB―→,>2(其中O为原点),求k的取值范围.

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 解决直线与双曲线位置关系的问题,通常利用韦达定理判别式中点坐标公式定比分点坐标公式建立方程或不等式求解。同时还要关注双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理,提高运算能力和综合运用能力,以及转化的数学思想方法的运用。在求解过程中,充分利用题目所给的条件把求双曲线离心率的范围转化为求双曲线上点的范围来解。将问题在一定条件下转化为另一种我们熟悉并在已有范围内可解的问题,去研究和解决的数学思想称为转化思想。解题的过程及其解题后的活动是一个由特殊到一般从具体到抽象的渐进过程,学生从这一过程中经历了一次对问题的探究过程、思考问题直至解决问题的过程。直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如:当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点,但不是相切;反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有一个交点。

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 在复习双曲线知识过程中,学生应逐步回忆所学的知识,并应用它们来分析问题和解决问题,以形成比较系统和完整的知识结构。已知双曲线的方程是16x2-9y2=144.(1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程;(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点,点P在双曲线上,且|PF1|·|PF2|=32,求∠F1PF2的大小.

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 综合问题都喜欢考查方程转化数学思想方法,考查学生运算能力,逻辑思维能力及分析问题解决问题的能力。在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件,即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数,且该常数必须小于两定点的距离”.若定义中的“绝对值”去掉,点的轨迹是双曲线的一支.学生解题能力的强弱关键在于其运用所学数学知识分析问题探索思路的水平和能力,因此在复习的期间,学生要学会从分析问题中探索解题思路,了解一类问题最本质的解法,从而达到举一反三、触类旁通的目的。分析和研究双曲线有关的知识定理和题型,有助于培养和提高学生分析综合运用知识解决问题的能力,加强学生对运动变化和对立统一观点的认识。学会把握知识间的联系,通过观察猜想、分析、归纳、类比联想等思想方法,学生对双曲线的定义相关的概念、标准方程和几何性质熟悉和掌握后,就能准确把握双曲线的知识网络,从而达提高解决双曲线问题的能力。

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